cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\sqrt{3}\\u_{n+1}=\frac{u_n+\sqrt{2}-1}{1+\left(1-\sqrt{2}\right)u_n},n=1,2,3,....\end{matrix}\right.\). Tính u2018
cho dãy số(un) được xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}\left(u_n+3\right)-3\end{matrix}\right.\) ,n=1,2,...Tìm công thức tổng quát của dãy số (un) và tính \(\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}\) .
\(u_2=\sqrt{2}\left(2+3\right)-3=5\sqrt{2}-3\)
\(u_3=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.5\sqrt{2}-3=5\sqrt{3}-3\)
\(u_4=\sqrt{\dfrac{4}{3}}.5\sqrt{3}-3=5\sqrt{4}-3\)
....
\(\Rightarrow u_n=5\sqrt{n}-3\)
\(\Rightarrow\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=\lim\limits\dfrac{5\sqrt{n}-3}{\sqrt{n}}=5\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\sqrt{2}\\u_{n+1}=\sqrt{u_n+2},n\ge1\end{matrix}\right.\). Tính \(\lim\limits_{u_n}\)
Dễ dàng nhận thấy \(u_n\) là dãy dương
Ta sẽ chứng minh \(u_n< 2\) ; \(\forall n\)
Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (thỏa mãn)
Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 2\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)
Thật vậy, \(u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}< \sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Do đó dãy bị chặn trên bởi 2
Lại có: \(u_{n+1}-u_u=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(2-u_n\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}>0\) (do \(u_n< 2\))
\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng
Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là k>0
Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:
\(\lim\left(u_{n+1}\right)=\lim\left(\sqrt{u_n+2}\right)\Leftrightarrow k=\sqrt{k+2}\)
\(\Leftrightarrow k^2-k-2=0\Rightarrow k=2\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=2\)
Cho dãy un được xác định bởi
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}\end{matrix}\right.\) với n=1,2,3,.... Tính
\(\lim\limits_{ }\dfrac{2014\left(u_1+1\right)\left(u_2+1\right)....\left(u_n+1\right)}{2015n}\)
\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}+1\)
Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{u_1}=1\\v_{n+1}=v_n+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSC với công sai \(d=1\Rightarrow v_n=v_1+\left(n-1\right).1=n\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{n}\)
\(\Rightarrow u_n+1=\dfrac{n+1}{n}\)
\(\lim\dfrac{2014\left(\dfrac{2}{1}\right)\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{4}{3}\right)...\left(\dfrac{n+1}{n}\right)}{2015n}=\lim\dfrac{2014\left(n+1\right)}{2015n}=\dfrac{2014}{2015}\)
Cho dãy số (Un) được xác định như sau: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\sqrt{u_n.\left(u_n+1\right).\left(u_n+2\right).\left(u_n+3\right)+1}\end{matrix}\right.,\forall n\in N\). Đặt \(v_n=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i+2}\). Tính \(v_{2020}\)
Bài 1: Cho dãy (Un): \(\left\{{}\begin{matrix}U_1=1\\U_{n+1}=2U_n+3\end{matrix}\right.\)
a) Tìm: U5
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy (Un)
Bài 2: Xét tính tăng, giảm
a) \(U_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}\)
b) \(\left(U_n\right):\left\{{}\begin{matrix}U_n=3\\U_{n+1}=\sqrt{1+U_n^2}\end{matrix}\right.\)
Bài 3: Tìm a để (Un): \(U_n=\dfrac{an+2}{n+1}\) là dãy tăng
Bài 4: Xét tính bị chặn:
a) \(U_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2-3}\)
b) \(U_n=\dfrac{n-1}{\sqrt{n^2+1}}\)
Bài 5: Cho dãy: \(\left\{{}\begin{matrix}U_1=\sqrt{2}\\U_n+1=\sqrt{U_n+2}\end{matrix}\right.\), (Un)
Chứng minh rằng: (U1) tăng, bị chặn trên bởi 2
1:
a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)
\(u_5=2\cdot29+3=61\)
b: \(u_2=u_1+2^2\)
\(u_3=u_2+2^3\)
\(u_4=u_3+2^4\)
\(u_5=u_4+2^5\)
Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)
Cho dãy số (Un): \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1,u_2=2\\u_{n+2}=-\sqrt{2}.u_{n+1}-u_n\end{matrix}\right.\). Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (Un)
Tính lim Un , biết :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}U_1=\sqrt{2}\\U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}\end{matrix}\right.\) , n \(\ge\) 1
b) \(\left\{{}\begin{matrix}U_1=\dfrac{1}{2}\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2-U_n}\end{matrix}\right.\) .
Hiện tại mới nghĩ được câu b thôi
b/ \(u_1=\dfrac{1}{2};u_2=\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3};u_3=\dfrac{1}{2-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}...\)
Nhận thấy \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\) , ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp
\(n=k\Rightarrow u_k=\dfrac{k}{k+1}\)
Chứng minh cũng đúng với \(\forall n=k+1\)
\(\Rightarrow u_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
Ta có: \(u_{k+1}=\dfrac{1}{2-u_k}=\dfrac{1}{2-\dfrac{k}{k+1}}=\dfrac{k+1}{k+2}\)
Vậy biểu thức đúng với \(\forall n\in N\left(n\ne0\right)\)
\(\Rightarrow limu_n=lim\dfrac{n}{n+1}=lim\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=1\)
Cho dãy un xác định: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\sqrt{2}\\u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\end{matrix}\right.\forall n\in N^{\cdot}\). Xác định số hạng tổng quát của dãy, xét tính tăng giảm của dãy đó.
Dãy đã cho hiển nhiên là dãy dương
Ta sẽ chứng minh dãy đã cho bị chặn trên bởi 2 hay \(u_n\le2\) với mọi n
- Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (đúng)
- Giả sử điều đó đúng với \(n=k\ge1\) hay \(u_k\le2\)
- Ta cần chứng minh với \(n=k+1\) cũng đúng
Hay \(u_{k+1}\le2\)
Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{2+u_k}\le\sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Vậy \(u_n\le2\)
Đặt \(v_n=\dfrac{1}{2}u_n\Rightarrow0< v_n\le1\) và \(\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\2v_{n+1}=\sqrt{2+2v_n}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4v_{n+1}^2=2+2v_n\Rightarrow v_n=2v_{n+1}^2-1\)
Do \(0< v_n\le1\) , đặt \(v_n=cos\left(x_n\right)\) với \(x_n\in\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{\pi}{4}\\cos\left(x_n\right)=2cos^2\left(x_{n+1}\right)-1=cos\left(2x_{n+1}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n=2x_{n+1}\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n\)
\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x_n=\dfrac{\pi}{4}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\)
\(\Rightarrow v_n=cos\left(x_n\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow u_n=2v_n=2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)
Dãy \(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\) giảm và thuộc \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên \(cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\) tăng
Do đó dãy số đã cho là dãy tăng.
P/s: đây là cách làm hoàn chỉnh có thứ tự (nhược điểm là rất dài). Có 1 cách khác đơn giản hơn là bằng 1 phép màu nào đó ngay từ đầu bạn đưa ra ngay dự đoán công thức tổng quát của dãy số là \(2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\) rồi chứng minh nó bằng quy nạp cũng được. Như vậy sẽ rất ngắn, cả bài chỉ 4-5 dòng nhưng lời giải hơi đột ngột
Cho dãy số \(\left(U_n\right)\) được xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}.\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)\end{matrix}\right.\), \(\forall n\ge1\). Tìm lim Un
Cho dãy số xác định bởi: \(\left(u_n\right)\left\{{}\begin{matrix}u_1=\sqrt{2851}\\\left(u_{n+1}\right)^2=u_n^2+n\end{matrix}\right.\) , \(n\ge1,n\in N^{\cdot}\)
Số hạng thứ 2020 của dãy là bao nhiêu?
Đặt \(v_n=u_n^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=2851\\v_{n+1}=v_n+n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=2851\\v_{n+1}-\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)=v_n-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n-\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n=x_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2851\\x_{n+1}=x_n=...=x_1=2851\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n+2851\)
\(\Rightarrow u_n=\sqrt{\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n+2851}\Rightarrow u_{2020}=1429\)